Un dernière exemple de présentation assez trompeuse d'un domaine mathématique : la géométrie algébrique "moderne" .

Ca va être un peu technique mais il faut bien rentrer dans les détails à un moment ou à un autre 1/

Ici je vais parler du cas d'un.e étudiant.e en L3/M1 qui entend parler en cours pour la première fois de la géométrie algébrique.

En M1, comme beaucoup on m'a présenté la géométrie algébrique comme l'étude du spectre des k-algèbres de types finies. 2/

La justification est simple : il y a une "bijection" entre les solutions d'un système d'équations polynomiales et les points du spectre de la k-algèbre définis par ce système. 3/

L'idée est donc d'étudier un objet géométrique : un courbe définie par une équation (par exemple), par l'intermédiaire de l'algèbre commutative. 4/

Le problème est que "géométriquement" parlant, on a rien gagné. Il est assez difficile de justifier à un non spécialiste pourquoi s'intéresser au spectre de R[X,Y]/(X^2+Y^2-1) plutôt qu'au cercle classique. 5/

Il n'y a donc pas de réelle motivation derrière l'étude du spectre dans un telle présentation. On peut la justifier mais pas vraiment la motiver. 6/

En plus de l'objet relativement difficile "Spec(A)", il faut ensuite introduire tout un formalisme abstrait : faisceaux, sites, cohomologie sur ce site... 7/

On obtient des résultats que très tardivement après avoir développer énormément de concept assez abstrait et qui font décrocher pas mal de monde 8/

(Je re dans 10min pour terminer mon explication)

Re.

Bref avec cette vision on laisse penser que la géométrie algébrique c'est de la géométrie différentielle un peu différente.

Problème : c'est assez loin de la réalité.

Bref deux problèmes :
- on "géométrise" des objets déjà géométriques
- on cache les outils abstraits de la géométrie algébrique

Pour moi, comme pour beaucoup, la géométrie algébrique c'est avant de tout la géométrisation de certains concepts.

Je ne me vois plus faire de la théorie des nombres, de l'algèbre commutative, de la théorie de galois ou whatever sans prendre le spectre de l'énoncé

Exemple : en M1 j'avais un cours de théorie des nombres où l'on se posait la question très simple : quel nombre premier reste "premier" dans l'anneau Z[i] (entier de gauss) ?

En prenant le spectre de cet énoncé on obtient :
quels sont les points de Spec(Z) possédant un seul point au dessus d'eux ? Ou encore avec un dessin :

On a donc "géométrisé" un énoncé qui ne l'était pas à priori.

La motivation me semble alors claire : on peut maintenant penser géométriquement à des énoncés qui ne l'étaient pas à priori.

Le deuxième avantage de cette présentation est quel ne ment pas sur ce que l'on fait en géométrie algébrique lorsque l'on débute : de l'algèbre commutative.

Un cours de théorie (algébriques) des nombres de niveau M1 c'est essentiellement de l'algèbre commutative

Anneau de Dedekind, idéaux fractionnaires, groupe des classes, différente, discriminant...

C'est pour moi l'introduction parfaite à ce domaine : on géométrise des énoncés pour pouvoir mieux comprendre le problème, mais on ne peut pas contourner la difficulté

(il faut des bagages solides en algèbre commutative)

Pour revenir à la question sur les nombres premiers : cela revient à étudier l'anneau Z[i]/(p), c'est donc de l'algèbre commutative. Mais comment penser à cet anneau sans savoir que son spectre c'est la fibre au dessus de p ?

Il y a donc deux avantages :

-on géométrise des trucs non géométriques à priori
-on ment pas sur les bagages nécessaires pour travailler

C'est donc à mon sens une présentation beaucoup plus proche de la réalité que celle par les "solutions d'équations polynomiales"

Bref promis quand j'ai le temps je termine d'écrire cette présentation à la géométrie algébrique